有无穷大吗？

Dan D. Farcaș

座右铭：“只有两件事是无限的：宇宙和人类的愚蠢；但我不确定宇宙”（阿尔伯特·爱因斯坦）

我想我是在第一次对现实的伟大奥秘提出疑问的时候发现了无穷大的概念的，当时我读了一本谈论宇宙浩瀚的天文学书。我想这是一本较旧的书，因为在它的书页中，空间和时间都没有任何开始，没有结束，也没有任何边界。当然，这幅图画还添加了一些在学校学到的数学和唯物主义知识。

当我还不到15岁的时候，我就将得出的结论写在笔记本上，记录了几天前在散步时向一位同龄同事就这个话题所做的阐述。我还有笔记本，所以我可以在下面原封不动地复制一些有启发性的片段，并穿插一些小的解释，这样文本至少在某种程度上是可以理解的。

“无穷大，乘以无穷大乘以平方，仍然是无穷大，因此，无穷大除以无穷大乘以无穷大，就得到了无穷大。有四个维度……向前和向后一样多，向右和向左一样多，向上和向下一样多，过去的时间等于未来的时间。一切都等于无穷大。”

“如果我们承认大脑中的每个分子（在特定时刻）占据一个既定的位置，那么我们就有非常大但有限的可能性以不同的方式放置它们，并且每种组合都是特定心灵的特征”[从而定义一个特定的人或意识]......

“有无数的星星，无数的世界、建筑、生命、思想的变体……无穷大除以无穷大等于无穷大。因此，每种可能性都存在无限次。同样的事情已经说过并且将会被说过无数次。并且存在与我们相同的世界”......

“[大脑中分子组合]的心灵可能性是有限的，在无限的[空间和时间]中，每种[组合，因此是心灵的]都将存在无限次。据说我们已经活了无数次，而且还会活很多次。不仅如此。我们已经过着现在的生活，而且还将活过无数次。所以我们不必抱怨死亡……”

换句话说，我想说的是，我们现在生活在这里的现实也存在于宇宙的另一个角落，甚至无数次。而这些相同的复制品在过去以同样的方式存在，在未来也将存在，无穷无尽……当然，当前现实的各种或多或少不同的变体也将是无限的，全部淹没在与我们的世界无关的众多变体中。

今天我明白，我因此独立地遇到了一个古老的无穷悖论。但这远非唯一一个。

那时我还太年轻，对书本上的东西或伟人的话太自信了。我们承认无限确实存在，一旦被谈论，我们就可以在我们的想象中玩无限的世界，即使这个游戏会产生各种各样的怪异。稍后，我对从他人那里获得的知识产生了不信任，并需要用自己的头脑进行检查和重新思考。直到那时我才问自己无限是否真的存在，因为没有人经历过它，即使通过间接的后果，但无法拒绝。

事实上，即使是一个头脑敏锐的普通人，如果被问到有没有“无限”，他也会回答说，他只能为自己经历过的事情而把手放火。您可能已经看过数十亿光年外星系的韦伯或哈勃图像；显然还有一些东西超出了他们的范围。但他只看到了这一点，没有看到无限。简而言之，根据我们的常识，无限并不真正存在，因为没有人见过或触摸过它。

与此同时，我也了解到宇宙看起来与我十几岁时想象的完全不同。随着时间的推移，它（似乎）有一个开始，在著名的“大爆炸”中，也许它会有一个结束。至于空间，这里的事情有点复杂。我试图用一个类比。我们所说的“无限”通常是指这样一种情况：无论我们走多远，无论一个点有多远，我们都能够超越，继续到达更远的地平线。地球表面（稍微简化一下，我们可以认为是二维的）显然是有限的（510,072,000 km²）但是，无论我们怎样走，无论最终走到哪里，我们仍然能够走得更远。古人仍然相信有可能以某种方式到达“世界的尽头”；今天我们知道这样的事情是不可能的。所以，从某种意义上说，地球表面是无边无际、没有尽头的（这么“无限”？）。

让我们为这张图片添加另一个维度。正如二维、自封闭的地球表面（球体表面）“沉浸”在我们普通的三维现实中一样，我建议想象我们在我们周围观察到的三维宇宙可以类似地成为超球面的表面，“沉浸”在具有四个空间维度的现实中。在这种情况下，如果我们有一艘神奇的船，可以在几秒钟内行驶数百万光年，我们会发现无论我们朝一个方向走多远，我们仍然可以继续前进。最终（就像在地球上一样）我们可能会惊讶地发现，继续前进，泰然自若，我们记得我们已经回到了离开的地方。我们也不会到达宇宙边缘的任何地方。

换句话说，就像来自太空的观察者可以从远处观察地球表面以及人们在地球上的运动一样，四维观察者可以“从外部”观察我们的宇宙。据观察：地球表面是球形的，尽管理论上它可以有其他形状；以此类推，从外部观察，我们的宇宙不一定具有超球面的形状，而可能具有另一种几何（超）体的表面形状。什么样的身体？这就是宇宙学家仍然吹嘘的地方。也许是一个（超级）tor，也许是更复杂的东西。

看来，这是目前最受学者们接受的观点。也就是说，一个大小有限、封闭的宇宙（因此不可能逃离它），但没有边界。当然，这并不是我们想象的文章开头所说的“无限”。

我们还可以通过谈论多元宇宙来使情况进一步复杂化，多元宇宙又是某些超多元宇宙的一部分（等等到无穷大？），或者谈论越来越大（无限？）的空间维度，也许还有时间维度。但这样的讨论超出了本文的范围。

上大学后，我当然了解到，对于数学家来说，无穷大确实存在，是一个非常真实的概念，没有它，现代数学中的任何东西都不可能存在。古人仍然害怕具体的无限。今天我们常说两条平行线在无穷远处相交。欧几里得则谨慎得多。对他著名的相似假设的重新表述只是说，无论我们如何扩展它们，它们都永远不会相遇。

在使用了三个多世纪的无穷小微积分中，最初只是说数字“趋于无穷大”或“尽可能小”。但目前从负无穷大到正无穷大的积分已经被使用，没有尴尬，就好像这些值存在于现实中一样。甚至还有一个小小的数学怪物，一个函数在负无穷大和正无穷大之间的整个区间内的值都为零，除了一个点，它的值为无穷大。而他在整个领域的积分是有限的。

后来我还遇到了巴纳赫或希尔伯特空间，这些空间从一开始就不再羞于在某些情况下假设它们具有无限维数。因此，与许多其他相关工具一样，所有这些工具都尽可能具体地使用无限的各种姿势，同时在当今的科学和技术中具有巨大的实用性。

一个半世纪前，将无限作为一个真实的、几乎有形的物体引入数学的人是， 格奥尔格·康托尔，通过创建“超限”集合论。在这个世界上，已经严格证明，即使是整数（或素数等）也与所有整数一样多。因此，一个部分，无论多么特殊，总是完全等于整体。我在本文开头转载的青少年思想中唤起了奇异的无穷大运算，其根源在于这些矛盾的发现。

康托还证明了所有可以想象的分数（a/b，有理数）与自然数（1、2、3……）一样多，无论乍一看多么奇怪。多少？无限多，但不仅仅是任何无限，而是称为“可数”并表示为 一个₀ （阿莱夫零）。然后还表明，一条线（或线段，或所有实数等）上的点数加起来大于“可数”的一个，可以表示为 一个₁ （我选一个）。并且数学函数的数量是无穷大且更大，因此表示为 一个₂ （阿莱夫二）。此后（尽管没有找到其他例子），这只是一个步骤，说明没有什么可以阻止我们谈论无穷大的层次结构： 一个_n 对于任何（无限？）大的n。

康托尔的想法极大地激怒了他那个时代的数学家，他们希望脚踏实地。骚扰接踵而至，这使得这位过于敏感的老师越来越频繁地被送进精神病院，并最终死在那里。但他的遗产将征服数学。

除其他外，它的批评者指出，接受真实无穷大的存在会导致许多悖论。在这方面，人们回顾说，早在大约两个半世纪前， 泽农·埃拉图尔 例如，他阐述了一个著名的悖论，即脚步敏捷的阿喀琉斯无法通过奔跑赶上乌龟。为什么？因为当阿喀琉斯到达点 T0（乌龟最初所在的位置）时，它已不再在那里，而是到达了稍远一点的新位置 T1。当阿基里斯到达 T1 时，爬行动物已经移动到 T2 点。这个过程可以无限重复，得到相同的结果，所以显然阿基里斯没有机会。常识告诉我们，当然，这样的事情在现实中不会发生。长期以来，这个悖论让学者们感到困惑。芝诺的技巧在于他将有限的情况归结为无限（真实）数量的步骤。而这个无限数是永远无法完成的。今天的数学家有应对这种情况的工具。例如，他们会认识到，我们正面临着一系列平庸的发展，最终汇聚到相遇的那一刻。

在这里，我谈到另一种教导，它在数学系和哲学系中有所揭示，但在其他地方却没有。我了解到，关于实无穷是否存在的争论，就像逻辑中的其他矛盾（也存在于有限的世界中）一样，揭示了数学家的基础比他们想象的要脆弱得多。接下来发生的事情对于一个普通人来说是难以想象的。碰巧的是，大约在 20 世纪初，逻辑学家和数学家分成了不同的流派，各自提倡彼此有争议的方法和真理。

其中一所学校的代表 - 其中包括逻辑学家 戈特洛布·弗雷格、伯特兰·罗素、阿尔弗雷德·N·怀特海 等等，他们希望一种没有悖论、足够自身的普遍逻辑仍然是可能的，并且数学可以完全通过这种逻辑的工具来构建。直觉主义者，通过 L.E.J.布鲁德、阿伦德·海廷、儒勒·亨利·庞加莱 等人发现，解决办法在于禁止使用某些概念和原则，从而试图消除超出直觉所能控制范围的推理。形式主义者，通过 大卫·希尔伯特、约翰·冯·诺依曼 等等，培养了这样的信念：通过足够严格的形式理论，仍然可以获得没有矛盾的构造。这些学校都没有能够将他们的计划进行到底，他们之间的争端至今仍在发酵。

我记得在大学毕业前我上的最后一堂课上，一位教授给了我们这样的临别建议：“你们现在知道数学基础是多么有争议；你们知道数学家曾经分裂成不同的流派，在一些基本原则上无法达成一致。如果你成为一名高中老师，请坚持下去，不要告诉学生任何这些。他们的精神仍然太困扰；对他们来说，数学必须保持一致。”

从那时起已经过去很多年了。六十多年来，我使用数学和计算机来解决各种各样的实际问题，并取得了或多或少的成功。这种做法教会了我尊重一些基本智慧，这些智慧人人都可以掌握，但常常被忽视。我想提到其中两个。

第一个想法是现实比我们想象的要复杂得多。要知道，人类拥有三种高效的工具，但没有一种是完美的：文字、逻辑和数学。在他们的帮助下，我们建立的现实模型（例如理论）永远不会完全足够（悖论的证明等），但足以解决我们面临的问题。许多人将这些模型与现实相混淆，认为模型中有效的东西在现实中也同样成立。这是一个可能导致严重错误的结论的错误。

第二个想法源自第一个想法。我们经常听到“事实证明X在现实中一定存在”或者“Y不可能存在”。最好不要忘记，任何演示都只能在模型中进行，模型是功能上不完美的现实副本。证明的结论在模型中是正确的，但实际上它们可能是正确的，也可能不是。该模型是一本非常有用的指南，但并非万无一失。

尤其是数学的无限性有它的魅力，但它只是模式的一部分。超过一定程度，它的使用可以成为一个连贯且引人入胜的游戏，但毫无意义且与现实无关。因此，尽管无穷大在数学中几乎是一个陈词滥调，但这一事实并不意味着现实有任何确定性。在现实世界中，无限只能是“趋向”或“超越某物，无论多远”等等；就像真实的东西一样。

最后，我想提醒读者的第三个基本智慧是，我们决不能忘记，关于现实，也存在一些问题，我们不仅目前没有答案，而且要到数百年后，而不是更早的时候，解决方案才会变得清晰（也许甚至存在完全超出智人思维能力的问题）。因此，让我们保持谦虚和耐心。实无穷的存在可能就是这样一个问题。