玩弄无限的人

博格丹·米海列斯库

“看到这个等级制度了吗？上帝把它留在那里。我刚刚发现它。”— 格奥尔格·康托（Georg Cantor）（改编自他关于宇宙秩序的陈述）。

01。 天才的诞生

在德国的中心地带，一个安静的小镇，一个有着聪明才智的男孩诞生了。乔治·康托 (Georg Cantor) 是一个早熟的孩子，总是对数字、形状和数学中隐藏的奥秘着迷。从很小的时候起，他就提出一些让成年人无法回答的问题，关于无限的问题，关于永无止境的事情的问题。

在一个痴迷于有限的世界里，乔治·康托敢于超越极限。格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托 (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) 于 1845 年 3 月 3 日出生于圣彼得堡的一个音乐家和商人家庭，在欧洲，数学被视为一门有序的学科，一座由不可改变的规则组成的大厦。但他的想法不同：在一个数字永无止境的领域，无限不仅仅是一个模糊的概念，而是一个可以探索、比较、分类的现实。

02. 释放无限

在柏林大学，在卡尔·维尔斯特拉斯的指导下，他开始探索数学分析的极限。但他的心却在为更深层次的东西而跳动：集合论和无限的本质。

因此，他开始研究集合论，这是数学的一个新分支，它将彻底改变对无穷大以及整个数学的理解。没有人，甚至他，怀疑这些研究会打开潘多拉魔盒

03. 霍屯督人和数学。

康托尔从小就对霍屯督人的一些部落的词汇很着迷，这些部落的词汇中有“一”、“二”、“三”和“更多”等词。但他们没有任何词语来形容四、五或更多的数字。这样一来，这些人数都数不过三。由于没有钱，他们进行以物易物、实物交换。如果在集市上，霍屯督人想用一串李子换一串核桃，就会出现以下问题。还有更多的坚果还是李子？但他们无法数李子和核桃来决定哪个更多。然后他们采取了以下程序。他们在摊位上排列着一颗核桃，旁边排列着一颗李子。还有核桃、李子等等。如果核桃用完了，还剩下李子，那么很明显，李子的数量比核桃多。反之亦然，如果李子先用完，就意味着李子的数量变少了。

这就是霍屯督人如何比较两个他们实际上无法计算的群体，并仍然决定哪个更大。然后康托尔认为我们甚至无法计算无限集，但我们仍然可以通过这个过程来比较它们。

于是，康托尔开始将自然数集与偶数集进行比较，这两个数都无法计算，因为它们都是无限的。他和霍屯督人一样：他把自然数放在一边，偶数放在另一边。因此，一对二，二对四，三对六，四对八，五对十，等等。直到无穷大，可以看出每个自然数都对应于一个偶数。最初，我们期望这些数字看起来是自然数的一半，但由于两个集合都是无限的，无穷大的一半仍然是无限的。但所有无穷大都相等吗？康托走得更远。他开始将自然数集与实数集进行比较。皆无限。于是他再次求助于霍屯督人的方法，他用更科学的方式称之为“对角论证”。 （快速提醒一下，实数是数轴上的所有数字，包括自然数，还包括分数、小数和无理数，例如 π 或 √2）。

这就是康托尔如何将自然数与实数进行比较，就像李子与核桃之间的比较一样？

他想象了一个包含 0 到 1 之间所有实数的列表。所有这些数字都是零的形式，小数点后有时是无限个小数。

然后，他通过选择与列表中第一个数字的第一个数字不同的数字，与列表中第二个数字的第二个数字不同的数字，依此类推，想象出一个新的实数。

该新号码与列表中的任何其他号码不同，因此该号码不在列表中。这意味着您无法创建包含所有实数的列表。因此，实数比自然数无限大。 （坚果多于李子）。

因此，虽然我们有两个无限集，但实数的无穷大大于自然数的无穷大。

04. 一个毫无准备的世界。

但格奥尔格·康托尔的想法对于他的时代来说过于激进。许多习惯于传统概念的数学家不准备接受几种类型的无穷大的存在。他们认为格奥尔格是一个疯子，一个威胁数学基础的危险梦想家。

他的老师，包括格奥尔格最伟大的批评家之一、著名的利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker），都嘲笑他的作品。 “上帝创造了所有的数字。其余的都是人类的工作，”克罗内克说道，他否认可以理解无穷大的观点。利奥波德·克罗内克 (Leopold Kronecker) 指责他疯狂和亵渎，称他的想法是对上帝的侮辱。比利奥波德更进一步的是，一些基督教神学家（尤其是新经院哲学家）认为康托尔的工作是对上帝本质中绝对无限的独特性的挑战——一度将超限数论与泛神论等同起来——康托尔强烈反对这一观点。

甚至伟大的数学家亨利·庞加莱也将他的思想称为感染数学学科的“严重疾病”。

05. 疯狂的阴影

不断的批评、学术上的孤立以及他与超前思想的不懈斗争给格奥尔格带来了沉重的打击，将他推入了痛苦的漩涡。他开始患有抑郁症和焦虑症，心理健康状况逐渐恶化。他最终被送进疗养院，在那里度过了大半生。即使在疯狂的时刻，格奥尔格也一直在思考无限。他撰写文章和论文，试图解释他的想法并说服其他人相信他们的真理。但他的声音太弱了，世界还没有准备好倾听他的声音。

归根结底，每个人的生命都是有限的，即使是敢于玩弄无限的人。 1918 年 1 月 6 日，他在疗养院去世，并在那里度过了生命的最后一年。

06. 无限的遗产

直到他去世后，他的思想才开始被接受和欣赏。今天，集合论是数学最重要的分支之一，乔治·康托尔被认为是一位革命性的天才。尽管乔治·康托在生前曾遭到拒绝，但他现在被认为是最具革命性的数学家之一。他的集合论成为现代数学的基础，他对无穷大的探索也带有他的印记。他对数学的贡献比我在本文中介绍的要广泛得多。数论、三角级数和序数级数、集合论、一对一对应、连续统假说、绝对无穷大、良序定理和悖论只是他贡献的一部分。

07.代替墓志铭。

格奥尔格·康托 (Georg Cantor) 被埋葬在德国哈雷的 Stadtgottesacker 公墓。它的头部是一块墓碑，上面刻着一个神秘的方程式，而不是墓志铭：

“C = ℵ₁”

这是对连续统猜想的暗示，这是他最喜爱的猜想：连续统（实数集）的幂是ℵ₁，是ℵ₀之后的下一个基数。这个方程由格奥尔格自己选择，证明了他对无限的热情，他对理解无限并将其带入数学世界的痴迷。

0八、结论

格奥尔格·康托（Georg Cantor）表明，无穷大不是一个静态概念，而是一个具有丰富和无尽结构的动态概念。今天，超限基数理论是逻辑、拓扑和模型理论的核心。

事实上，他就是那个玩弄无限的人，并且最终战胜了它。