INFINITUL DINCOLO DE MATEMATICĂ ȘI… ÎN MATEMATICĂ

Cercet. șt. Ing. Ch. Lucreția Euenia BREZEANU

Cuvântul „infinit” este un adjectiv folosit pentru a descrie ceva care nu are limită în număr sau dimensiune. Provine din latinescul infīnītus, derivat de la fīnītus „limitat”, „a delimita”, dar și: „a preciza”, „a determina” și „a termina”; înseamnă deci literal „care este fără limite”, dar și „nedeterminat” și „nedefinit”. Când este substantiv, infinitul desemnează în mod fundamental o noțiune matematică, precum și un concept filosofic, metafizic sau teologic, ale cărui paradoxuri au hrănit și hrănesc de multă vreme istoria gândirii în întreaga lume.

Simboluri ale infinitului

Simbolul infinitului, în matematică și dincolo de matematică, este „∞”, inventat de matematicianul John Wallis în secolul al XVII-lea, semn a cărui origine este controversată și a cărui formă poate evoca un „8” orizontal (dar nu în raport cu numărul 8 a fost ales acest semn); Această formă a fost comparată cu cele ale lemniscatei Bernoulli sau ale benzii Möbius. Acestea sunt și posibile reprezentări ale infinitului sau ale mișcării perpetue inaccesibile, dar reprezentări „la limită” tocmai, pentru un concept care este prin definiție sau prin natură imposibil de reprezentat.

Noțiunea de infinit a marcat puternic istoria filozofiei occidentale cel puțin încă din antichitatea greacă în încercarea de a reconcilia teologia creștină în reflecțiile sale asupra caracterului naturii divine ca infinit real sau „actual”, cu gândirea neoplatonică și aristotelismul, în special cu distincția conceptuală a lui Aristotel între „infinitul în fapt, efectiv și concret, care nu poate fi imaginat în natură, infinitul, efectiv și concret să existe”, ci doar ca concept abstract și potențialitate.

Etapele majore ale acestei reflecții au fost probabil, încă de la misterioasa Carte a Filosofilor XXIV, din secolul al IV-lea până în secolul al XV-lea, unele lucrări ale unora ca: Marius Victorinus, Boethius, Ioan Damaschin, Toma d’Aquino, Raymond Lull, Ioan Duns Scotus, Nicole Oresme și mai ales Nicolae de Cusa cu viziunea sa asupra unui univers infinit alcătuit dintr-o infinitate de lumi finite cântând toate slava lui Dumnezeu prezentă pretutindeni (cu riscul, pentru Inchiziție, de a confunda Creatorul cu creația sa) care i‑a adus pedeapsa lui Giordano Bruno, în zorii secolului al XVII-lea.

Noțiunea de infinit a cunoscut o revenire spectaculoasă în gândirea occidentală, precum și în istoria matematicii și științei, încă din secolul al XVII-lea, în special prin dezvoltarea calculului infinitezimal de către Fermat, Leibniz și Newton și în lucrările lui Descartes, Pascal și Spinoza. Aceste inovații în matematică dar și în fizică au dus la o schimbare radicală de perspectivă. Astfel, Alexandre Koyré afirmă că „substituirea unui univers infinit și omogen cu cosmosul finit și ordonat ierarhic al gândirii antice și medievale implică și necesită reformarea primelor principii ale rațiunii filozofice și științifice”.

În religia egipteană antică, Nun era numele zeului unui ocean infinit existent înainte de crearea lumii!

China avea o teorie a infinitului dezvoltată de Mozi, una dintre „sute de școli” de filozofie care a apărut în China în perioada ”Statelor în război”, care a contestat învățăturile confucianiste și taoiste în jurul anului -300. Această teorie a fost publicată în textul fondator al acestei școli, o colecție a cuvintelor și gândurilor maestrului său: Mozi.

India în Yajur‑Veda (Indian mathematics of the Vedic period: -1500 to -4000), documentează cea mai veche utilizare cunoscută a numerelor de până la o sută de mii de trilioane (parārdha în sanscrită). Se folosește și conceptul de infinit numeric, pūrṇa, stabilind că dacă cineva scade pūrṇa din pūrṇa, pūrṇa rămâne!

În secolul al -II, cercetătorul Pingala a descris în lucrarea sa „Chhandahshastra” un sistem de notație binară, utilizat pentru clasificarea silabelor în muzică. Sistemul său folosea termenii „laghu” și „guru” pentru a reprezenta ceea ce astăzi cunoaștem ca „0” și „1”. Această descriere precedă cu aproximativ 1500 de ani sistemul binar dezvoltat de matematicianul german Gottfried Leibniz în 1703, sistem care ulterior a devenit fundamental pentru dezvoltarea calculatoarelor moderne.

Filosofii presocratici au fost de fapt primii fizicieni (phusikoi). Într-adevăr, fiind primii care au îndrăznit să studieze natura pentru sine, au ajuns să stabilească o metodă de analiză, cercetare și reflecție care avea să devină mai târziu cea a oamenilor de știință și a filozofilor. În acest scop, o mare parte din limbajul științific încă folosit astăzi a fost introdus de acești gânditori și a avut inițial funcția de a exprima concepte esențiale pentru dezvoltarea studiului naturii.

Universul, kosmos, principiul (archè) rațiunea (logos), natura (phusis) sunt termini pentru a ajunge în miezul lucrurilor pentru descoperirea mecanismului lor. Astfel se ”naturalizează” funcţiile tradiţionale ale divinităţilor, până atunci concepute ca intervenţii exterioare, presocraticii vor folosi direct sau indirect conceptul de infinit / apeiron.

Presocraticii nu cred că infinitul există în zadar și nici că are altă valoare decât cea de principiu totul este un principiu sau provine dintr-un principiu, dar infinitul nu provine dintr-un principiu prin însuși faptul că este unul.

Infinitul este negenerat și incoruptibil: fiind negenerat, infinitul nu primește niciun sfârșit și, prin urmare, este incoruptibil. Aristotel a fost primul care a enumerat tezele filosofiilor presocratici. Despre infinit, în Cartea a III-a a Fizicii sale el enumeră punctele comune dintre gândurile predecesorilor săi și motivele care i-au determinat să creadă în existența infinitului. Nemuritor și nepieritor, infinitul pare a fi divinitate. Cinci motive care au condus la credința în infinit. În primul rând, infinitul se află în împărțirea mărimilor.

Matematicienii folosesc infinitul relevat prin împărțire. Exemplu, formula pentru aria cercului π∙r2 este coroborată prin împărțirea cercului într-un număr infinit de triunghiuri.

Există o infinitate de surse. Într-adevăr, distrugerea și generarea nu sunt epuizate, nu poate fi decât datorită infinitității sursei din care este generat totul.

Timpul este infinit! Fiecare generare un sfârșit, dar sursa nu are niciun principiu care să-l genereze și deci nici nu are sfârșit. Astfel, mișcarea generației și corupției este înscrisă în timp și se datorează unei surse negenerate și incoruptibile, aceasta înseamnând că timpul însuși este infinit.

Nu există nicio limită în sine. Ceea ce este limitat este limitat doar de altceva, astfel încât nimic nu va fi o limită, deoarece limitarea este întotdeauna între doi termeni.

Infinitul prin unele teorii presocratice

Apeiron: conceptul de infinit a fost introdus pentru prima dată în gândirea filozofului Anaximandru (- 610 Milet, – 546), elev al lui Thales, care a vrut să investigheze fundamentul universului și astfel a ajuns să postuleze infinitul ca principiu și substrat al lucrurilor care există: apa pentru Thales, aer pentru Anaximenes, foc pentru Heraclit), deoarece sunt schimbătoare, depind unul de celălalt și niciunul nu poate fi privilegiat. Prin urmare, dincolo de elemente, este nevoie de o altă natură care să acționeze ca un substrat care sunt generate toate lumile. Acest substrat este infinitul, principiul care generează universul sub influența unei mișcări eterne. Mișcarea eternă este în producție constantă în acest sens, este o „întoarcere generică”.

Școala pitagoreică: Printre doctrinele sale, școala o propune pe cea a veșnicei întoarceri: lucrurile vor fi din nou la fel. Dacă pentru alți filozofi, precum Anaximandru sau Heraclit, se poate observa o întoarcere generică, printre anumiți pitagoreici există o întoarcere individuală care poate fi reprodusă la infinit.

Într-adevăr, dacă există 1) un număr finit de evenimente posibile, 2) dacă fiecare eveniment are o cauză și 3) aceeași cauză trebuie să producă întotdeauna un efect similar, rezultă că într-un timp infinit evenimentele revin în mod necesar.

În Etica Nicomahică, Aristotel spune că pentru pitagoreici răul este infinit. Heraclit (a doua jumătate a secolului -VI în jurul anilor -544 Efes), focul este principiul universului: totul este convertibil în foc și focul în orice. Pe de o parte, infinitul se găsește acolo prin generare, deoarece pentru el totul se realizează prin conflict și necesitate, totul este îndreptat spre opusul său. Infinitul caracterizează timpul pentru că pentru Heraclit, universul nu are nici început, nici sfârșit.

Cosmosul a fost, este și va fi întotdeauna ca”focul etern”. Parmenide (sfârșitul secolului -VI, Elea, mijlocul secolului -V-lea), concepția de infinit inerentă gândirii sale se regăsește în explicația imobilității și eternității ființei care trebuie să fie eternă, adică este negenerată și nepieritoare. Infinitul este așadar necesar pentru existența unei ființe etern identice. Melissus, un elev al lui Parmenide, considera că ceea ce există, sau mai bine zis ceea ce este, trebuie să fie unic: există un singur lucru. Pe baza cuvintelor maestrului său, el afirmă că un lucru care există, există întotdeauna, dar adaugă că trebuie să fie întotdeauna infinit ca mărime. Argumentul ia ca punct de plecare imposibilitatea vidului.

Democrit: (-460 Abdera, -370), natura este formată din substanțe mici, nelimitate ca număr, care se găsesc într‑un loc pe care el îl numește infinit. Această infinitate de substanțe mici care înoată într-un vid infinit și etern se aglomerează uneori și formează corpuri vizibile prin mișcarea lor. Infinitul se găsește așadar într-o împărțire a corpurilor într-o infinitate de substanțe, care constituie prima teorie atomică.

Alți gânditori presocratici au folosit și conceptul de infinit în cercetările lor, Dihotomia dacă există mișcare, un corp în mișcare trebuie să se miște pe o anumită distanță într-un timp finit; dar înainte de a fi parcurs întreaga distanță, corpul trebuie să fi parcurs mai întâi jumătate din ea; și înainte de a fi parcurs jumătate din ea, trebuie să fi călătorit jumătate din acea jumătate. Deoarece fiecare distanță este infinit divizibilă în jumătăți și deoarece este imposibil să parcurgeți un număr infinit de poziții într-un timp finit, mișcarea nu există.

Neoplatoniștii Plotin, (-205-270), afirmă: „Nu trebuie să se teamă de nelimitarea inteligibilului” (Eneade, V.7.1). Plotin afirmă infinitul Unului. În timp ce înainte infinitul, apeiron, reprezenta cel mai de jos grad de existență, sau chiar neființa pură, pentru Plotin esența materiei rămâne infinită în acest sens negativ, ea devine un atribut pozitiv al celor trei ipostaze: Unul, Inteligența, Sufletul universal.

Avicenna (n. 980 Afshena, Bukhara, 1037), va include noțiuni aristotelice, dar în context teologic. Astfel, el preia ideea lumii eterne, dar într-o metafizică creaționistă. În contextul infinitului, este evident că existența unui Dumnezeu va da un nou sens metafizicii lui Aristotel, care acceptă infinitul în potențial (sub forma infinitului prin diviziune și prin adunare), dar respinge infinitul în act real.

Infinitul în lumea supralunară: Remarcăm mai întâi că Dumnezeu este prin definiție infinit și este primul principiu din care emană totul, dar Dumnezeu nu este singura ființă infinită; există o dependenţă ontologică a inteligenţelor cereşti (care numără zei) faţă de primul principiu, dependenţă exprimată prin dorinţa de a se apropia de perfecţiunea lui Dumnezeu. Dorința ca principiu al mișcării este faptul de a dori să ajungi la Dumnezeu, de a-i asemăna.

Dacă Avicenna vorbește despre infinit în lumea sublunară: infinitul în acțiune este adus de teologie; sufletele (ale oamenilor) fiind nemuritoare, există așadar o infinitate ale lor într-o lume veșnică. Aceasta este ceea ce caracterizează infinitul în acțiunea puternică în avicenism. Există o succesiune infinită de cauze pregătitoare. Aici intră în joc distincția dintre cauzele esențiale și cauzele adjuvante. Cauzele esențiale (sau adevărate) fiind legate de mișcare, de continuu, pentru că rămân cu efectul. Cauzele adevărate „previn inexistența lucrului”. Cauzele adjuvante sunt secundare deoarece sunt anterioare lucrului. Ne putem gândi la relația tată/fiu care este din generație în generație pentru a explica acest fapt.

În ceea ce privește infinitul potențial puternic, acesta este întotdeauna același cu infinitul potențial al lui Aristotel, și anume infinitul prin diviziune și prin adunare; infinitul în putere slabă, se găsește în mișcare. Această mișcare nu corespunde cu cea a sferelor cerești și acest lucru nu este cu adevărat continuu și poate fi privit în moduri diferite. O putem vedea deja ca mișcarea generală a unui corp. Totuși, această definiție a mișcării nu va fi cea importantă în cazul infinitului.

La Aristotel, în Cartea a VI-a de Fizică, este clar că „este imposibil ca un continuum să fie format din indivizibili, de exemplu ca o linie să fie formată din puncte, dacă este adevărat că linia este un continuum, iar punctul un indivizibil”.

De la infinitul matematic la infinitul teologic: Conform definiției lui Aristotel din Cartea a III-a a Fizicii, „infinitul este ceea ce este de așa natură încât atunci când cineva ia o cantitate din ea, adică oricât de mare ar fi cantitatea pe care o ia, rămâne întotdeauna ceva de luat”.

Infinitul absolut: o fundație teologică! abordată în Mitteilungen, chiar dacă se referă mai direct la teologia speculativă, încă servește ca fundație pentru teoria transfiniților.

Numerele //transfinite// sunt accesibile omului, dar mulțimea lor, adică sistemul tuturor numerelor „Ω”, este de neînțeles.

Russell Bertrand (1916) pentru care infinitul a devenit o problemă

Definiția numărului Russell funcționează cu definiția numărului avansată în Fundamentele aritmeticii: „clasa tuturor claselor similară cu clasa dată”. Această definiție a numărului îi permite lui Russell să ofere demonstrația logică a patru dintre cele cinci axiome ale aritmeticii Peano.

În logica matematică o mulțime aritmetică este o mulține de numere naturale care pot fi definite printr-o formulă alcătuită de ordinal întâi (aritmetica Peano). Mulțimile aritmetice sunt clasificate de iearhia aritmetică.

După cum sugerează Leibniz, un infinitezimal ar fi o cantitate de spațiu sau timp atât de mică încât nu ar exista una mai mică, astfel încât ar fi imposibil să o împarți în două cantități finite. Russell respinge posibilitatea în matematică de a manipula cantități infinitezimale, și anume cantități astfel încât „orice distanță finită este mai mare decât aceasta”.

Infinitul în secolul XXI, în matematică: Pentru marea majoritate a matematicienilor secolului XXI, infinitul în fiecare dintre semnificațiile sale este o noțiune matematică ca oricare alta, care posedă o definiție explicită și care, în principiu, ar putea fi redusă la obiectele primitive ale limbajului folosit (cel mai adesea cea a teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel). Astfel, de exemplu, o mulțime este infinită (în sensul lui Richard Dedekind) dacă poate fi pusă în bijecție cu una dintre submulțimile sale stricte; punctul de la infinit al unui spațiu este un obiect formal adăugat acestui spațiu prin respectarea unor reguli precise etc.

Încercările de a reda sensul infinitezimalelor și diferitelor „ordine de infinitate” (pentru a putea, de exemplu, să exprime că pătratul infinitului este mult mai mare decât infinitul) au fost făcute de du Bois-Reymond, Hardy și Landau; ele constau în introducerea de funcții de referință (scalele de comparație) și a spune, de exemplu, că o cantitate variază în anumite condiții ca o infinită mică de ordinul oarecare sau altul dacă este echivalentă cu una dintre funcțiile scalei, ea însăși foarte mică în aceleași condiții. Dar aceste definiții, deși utile în practică, suferă de un anumit arbitrar și sunt, de asemenea, neapărat incomplete (există întotdeauna funcții situate în afara unei scări date).

Seria geometrică 12n umple un pătrat cu latura și aria egală cu 1, la initesimal

Fulgul de zăpadă Von Koch este construit prin adăugarea unui triunghi pe fiecare margine a figurii anterioare… la infinit; la infenitesimal

Analiza non-standard și numere suprareale Progresele în logica matematică din prima jumătate a secolului al XX-lea i-au determinat pe diverși teoreticieni (Hewitt, Robinson și Nelson în special) să ia în considerare reconstrucția unei teorii riguroase a infinitezimale bazată pe teoria modelelor. În această abordare, construim, de exemplu, un model de numere reale „non-standard”, care conține toate numerele reale obișnuite dar și numere noi, neapărat „infinit de mari” sau „infinit apropiate” de cele vechi; rezultatele teoriei garantează că aceste noi numere reale au toate proprietățile celor vechi (paradoxurile aparente, precum cel al celui mai mic întreg nestandard, care dusese la abandonarea acestor concepții în secolul al XIX-lea, fiind rezolvate prin imposibilitatea exprimării anumitor proprietăți în limbajul precis folosit).

Geometrie și topologie: Noțiunea de punct la infinit, care a apărut odată cu dezvoltarea geometriei proiective (ea însăși dezvoltată în raport cu inventarea perspectivei geometrice) a avut ca scop modelarea cunoscutei sintagme că „paralele se intersectează la infinit” este acum formalizată prin construcția geometriei proiective.

În fizică: La începutul secolului al XX-lea, fizica s-a trezit în imposibilitatea de a explica diverse fenomene inclusiv faptul că un corp negru aflat în echilibru termodinamic ar trebui să radieze un flux infinit, a se vedea catastrofa ultravioletă. Această problemă a fost rezolvată prin introducerea de către Planck a cuantelor, care formează baza fizicii cuantice. În mai multe ramuri ale fizicii, cum ar fi teoria cuantică a câmpului sau fizica statistică, cercetătorii au reușit să elimine divergențele nedorite din teorie folosind tehnici de renormalizare matematică. Aceste tehnici nu au fost încă aplicate în teoria gravitației!

Numărul acestui volum este 38 ! În științele metapsihice

38 reprezintă adesea trinitatea în religii și este asociată cu creația, procrearea, încrederea, creativitatea, exprimarea de sine, optimismul, bucuria, curajul, abundența materială și realitatea; este o veste bună!

38 este suma pătratelor primelor trei numere prime ( 2, 3, 5 și 4+9+25 = 38)

37 și 38 sunt prima pereche de numere întregi pozitive consecutive care nu sunt divizibile cu niciuna dintre cifrele lor ,cu 3, 7, 8.

Semnificația în numerologie a numărului 38 : simbolizează încrederea, creativitatea, exprimarea de sine, optimismul, bucuria, curajul, abundența materială și realitatea. Numărul 38 înseamnă progrese – în ceea ce privește bogăția, cariera, spiritualitatea și viața.

Din punct de vedere spiritual, numărul 38 este un semn că legătura ta cu tărâmul divin este cea care permite numeroaselor recompense financiare și abundenței să curgă în TIMP! Acțiunile, rugăciunile și afirmațiile pozitive vor ajuta la menținerea aceastei conexiuni.

Acest număr avertizează asupra unui pas mare către munca și viața profesională supranaturală sau să ai o descoperire în partea ta spirituală.

Numărul 38 ca număr de flacără geamănă vă spune să rămâneți pe calea aleasă și în curând vă veți întâlni flacăra geamănă!

Dacă nu ați făcut încă această legătură, este un semn că veți debloca în curând o descoperire spirituală în zilele ce vor urma. O flacără dublă poate fi un membru al familiei, un prieten sau un mentor. Rămâi concentrat pe misiunea ta.

Semnificația spirituală: Pentru a înțelege numărul 38, trebuie să-l descompunem în numere de la care își primește esența vibrațională: 3, 8 și 11. Numărul 3 este asociată cu încredere, autonomie și optimism, un simbol al unei bogății imense.

Numărul 3 rezonează cu materializarea ambițiilor; este asociat și cu naturalețea, creșterea și dezvoltarea, claritatea și elocvența.

Numărul 8 este un simbol al infinitului, al ciclurilor nesfârșite și al abundenței! poate simbolizează autoritatea, încrederea în sine, puterea și înțelepciunea interioară, statutul social, ego-ul și dorința de pace. // 8 // simbolizează bogăția materială, prosperitatea, succesul, independența, percepția, onestitatea, precizia, echilibrul și loialitatea. Acest număr este adesea asociat cu binecuvântări financiare și succes.

Adunate numerele, acestea sunt egale cu numărul principal 11 număr de înaltă frecvență care conține energii de creativitate, inspirație și spiritualitate. Acest număr principal pune accent pe înțelegerea misticului și a metapsihicului.

Numărul 38 este un amestec al atributelor ale acestor două numere, 3 și 8. Potrivit numerologiei, numărul 38 simbolizează un mesaj pentru a te încuraja, arătând că ”un fel de ” bogăție se va materializa, deoarece obiectivele urmează să fie îndeplinite în vremurile care vor veni!

38 simbolizează menținerea pe drumul cel bun, luarea de acțiuni pozitive, obținerea abundenței materiale și ascultarea înțelepciunii tale interioare.

Acest număr amintește de legea karmică – legea dăruirii și a primirii, ceea ce înseamnă că dacă ai mult, poți împărtăși multe, este un semn că legătura cu tărâmul divin este cea care permite numeroaselor recompense financiare și abundenței să curgă în TIMPUL entității.

38 Numărul atomic al Stronțiului, un element foarte reactiv de consistență moale de culoare metalică, alb-argintie și galbenă în cazul în care acesta intră în contact cu aerul cu mult mai reactiv cu apa, cu care reacționează formând hidroxidul de stronțiu și Hidrogen gazos! Stronțiul se regăsește în natură în celestină și stronțianit. În timp ce stronțiul natural este stabil, izotopul sintetic al acestuia 90Sr este radioactiv, se găsește în deșeurile radioactive și are un timp de înjumătățire de 29 ani. Stronțiul este păstrat sub o hidrocarbură lichidă cum ar fi kerosenul sau uleiul mineral pentru a preveni oxidarea. Strontiul metalic fin, sub formă de pulbere este foarte piroforic, aprinzându-se spontan în aer la temperatura camerei. Sărurile de stronțiu dau o culoare roșu aprins în flăcărilor, motiv pentru care sunt utilizate în pirotehnie și în producția de rachete de semnalizare.

Astronomie: Obiectul Messier M38, un cluster deschis cu magnitudinea 7 în constelația Auriga; subiectul noului catalog general NGC 38, o galaxie spirală din constelația Pești

Testul Ishihara este un test de vedere al culorilor format din 38 de plăci pseudoizocromatice. Majoritatea oamenilor vor vedea numărul 38, dar persoanele cu daltonism roșu-verde ar putea vedea în schimb 88.

Paralela 38 nord este granița dintre Coreea de Nord și Coreea de Sud la războiul din Coreea; Clasa 38 este cea mai faimoasă clasă de locomotive cu abur folosită în New South Wales; 38 sloturi sunt pe o roată a ruletei americane!

Un „38” este adesea numele unui revolver cu țeava snub calibrul 38.

Pisicile au un total de 38 de cromozomi în genomul lor.

BIBLIOGRAFIE

1.Infinitul matematic dintre mister și rațiune, intuiții, paradoxuri, rigoare, de Thérèse Gilbert, Nicolas Rouche, ELLIPSES, 15.07. 2001

2. O (foarte!) scurtă istorie a infinitului 23.02. 2022 Pierre Henriquet (doctor în fizică nucleară și cronicar la Polytechnique Insights)

3. „Ultimele noutăți despre INFINIT, revista //Pentru știință//, număr special nr. 125, noiembrie-decembrie 2024

4. „Giordano Bruno, profetul infinitului, ars de viu de Biserica Catolică, Delbecq 2020

5. Dicționarul Gaffiot, „infīnītus”, „fīnĭo, fīnis”, autor capitol, Félix Gaffiot, 1934

(accesat la 4 februarie 2022),

6. Maria Reményi, „Istoria infinitului”, revista //Pentru știință//, nr 278, 2000,

7. Meditația metafizică, Emmanuel Levinas, Encyclopædia Universalis despre: „INFINIT, philosophy”, Introducere (accesat, februarie 2022)

RECOMANDARE: The Art of the infinite: Our Lost Language of Numbers, ROBERT KAPLAN, ELLEN KAPLAN, 2003, PENGUIN BOOKS