Există infinitul?

Dan D. Farcaș

Motto: „Doar două lucruri sunt infinite: Universul și prostia omenească; însă de Univers nu sunt sigur” (Albert Einstein)

Cred că am descoperit noțiunea de infinit, la vârsta primelor întrebări privind marile taine ale realității, citind o carte de astronomie care vorbea de vastitatea Universului. Presupun că era o carte mai veche, întrucât în paginile ei nici spațiul nici timpul nu aveau nici început, nici sfârșit, nici vreun hotar. La această imagine s-a adăugat desigur și câte ceva din matematica și materialismul însușite la școală.

Concluziile la care am ajuns, pe când n-aveam nici 15 ani, le notasem într-un caiet, consemnând un expozeu, făcut cu câteva zile înainte, pe această temă, unei colege de aceeași vârstă, în timpul unei plimbări. Mai am caietul, așa că pot reproduce mai jos, neschimbat, câteva fragmente edificatoare, intercalând mici explicații, pentru ca textul să fie cât de cât inteligibil.

„Infinitul, ridicat de infinit de ori la pătrat, tot infinit rămâne, de unde rezultă că infinit împărţit, de infinit de ori, la el însuşi tot infinit dă. Există patru dimensiuni… Înainte e tot atât de mult ca şi înapoi, la dreapta ca şi la stânga, în sus tot atât ca şi în jos, timpurile care au trecut sunt egale cu timpurile care vor veni. Şi toate sunt egale cu infinit.”

„Dacă admitem că fiecare moleculă din creier ocupă [la un moment dat] un loc bine stabilit, avem un număr foarte mare, dar finit de posibilităţi de a le aşeza în diferite feluri, iar fiecare combinaţie este caracteristică pentru un anumit psihic” [deci definind o anumită persoană, sau conștiință] …

„Există o infinitate de aştri, o infinitate de variante de lumi, clădiri, vietăţi, gânduri… Infinitul împărţit la infinit este egal cu infinit. Prin urmare, fiecare dintre aceste posibilităţi există de infinit de ori. De infinit de ori s-a vorbit şi se va vorbi acelaşi lucru. Şi există lumi identice cu a noastră”…

„Existând un număr finit de posibilităţi de psihic [de combinaţii de molecule în creier], într-o infinitate [a spaţiului şi timpului], fiecare [combinație, deci psihic] va exista de un număr infinit de ori. Vasăzică noi am trăit de o infinitate de ori şi vom mai trăi de tot atâtea ori. Şi nu numai atât. Am trăit aceeaşi viaţă pe care o trăim acum şi o vom mai trăi de infinit de ori. Nu trebuie deci să ne plângem de moarte…”

Cu alte cuvinte, voiam să spun că realitatea pe care o trăim acum, aici, există și într-un alt colț al Universului și chiar de un număr infinit de ori. Și aceste copii identice au existat la fel și în trecut și vor exista și în viitor, la nesfârșit… Desigur tot infinite vor fi și diversele variante, mai mult sau mai puțin diferite, ale realității prezente, înecate toate în multitudinea de variante care n-au nicio legătură cu lumea noastră.

Azi înțeleg că dădusem astfel, în mod independent, peste un străvechi paradox al infinitului. Dar care nu e nici pe departe singurul.

Pe atunci eram prea tânăr și prea încrezător în cele din cărți ori în spusele oamenilor mari. Acceptam că infinitul chiar există, odată ce se tot vorbește despre el, că putem să ne jucăm în imaginație cu lumile infinite, chiar dacă acest joc generează tot soiul de ciudățenii. Neîncrederea în cunoștințele primite de la alții și nevoia de a le verifica și regândi cu propria minte mi-au apărut un pic mai târziu. Abia atunci mi-am pus și problema dacă infinitul chiar există, odată ce nimeni nu l-a experimentat, fie și prin consecințe indirecte, dar imposibil de respins.

De fapt, chiar și un om obișnuit cu mintea ageră, dacă ar fi întrebat dacă există vreun „infinit”, v-ar răspunde că el poate pune mâna în foc doar pentru lucrurile pe care le-a experimentat. S-ar putea să fi văzut imagini transmise de telescopul Webb sau Hubble, cu galaxii aflate la miliarde de ani lumină; și aparent mai era ceva și dincolo de ele. Dar el a văzut doar atât, nu și infinitul. Spus mai pe scurt, pentru bunul nostru simț, infinitul nu prea există, întrucât nimeni nu l-a zărit sau pipăit vreodată.

Între timp am mai învățat și că Universul arată cu totul altfel decât credeam în adolescență. În timp, are (se pare) un început, în faimosul „Big Bang” și poate va avea și un sfârșit. Cât despre spațiu, aici lucrurile sunt ceva mai complicate. Încerc să recurg la o analogie. Prin „infinit” înțelegem îndeobște o situație în care, oricât de departe am merge, oricât de departe ar fi un punct, vom putea trece dincolo, mergând în continuare spre un orizont și mai depărtat. Suprafața Pământului (pe care, simplificând nițel, o putem considera bidimensională) este, evident, finită (510.072.000 km²), cu toate acestea, oricât am merge pe ea, oriunde am ajunge, vom putea merge în continuare mai departe. Cei vechi încă mai credeau că ar fi posibil să ajungi cumva la „capătul lumii”; azi știm că așa ceva nu e posibil. Deci, într-un fel, suprafața Pământului este nemărginită, fără vreun sfârșit (deci „infinită”?).

Hai să adăugăm la această imagine încă o dimensiune. Așa cum suprafața, bidimensională, închisă în sine, a Pământului (suprafața unei sfere) e „scufundată” în obșteasca noastră realitate tridimensională, propun să ne imaginăm că Universul, tridimensional, pe care îl observăm în jurul nostru, ar putea fi, în mod analog, suprafața unei hipersfere, „scufundată” într-o realitate cu patru dimensiuni spațiale. În acest caz, dacă am avea o navă miraculoasă care să străbată milioanele de ani lumină în secunde, am constata că oricât de mult am merge într-o direcție tot am mai putea continua. Eventual (ca și pe Pământ) am putea avea surpriza că, mergând tot înainte, neabătut, să ne pomenim că am revenit în punctul din care am plecat. Și n-am da nicăieri de o margine a Universului.

Cu alte cuvinte, exact precum un observator din spațiu ar putea urmări, de la distanță, suprafața Pământului și deplasările oamenilor pe ea, un observator cuadridimensional ar putea privi, „din afară”, Universul nostru. Cu o observație: suprafața Pământului are forma de sferă, deși teoretic ar putea avea și o altă formă; prin analogie, Universul nostru, privit din afară nu are obligatoriu forma suprafeței unei hipersfere ci, posibil, a unui alt (hiper)corp geometric. Ce fel de corp? Aici cosmologii încă se sfădesc. Poate un (hiper)tor, poate ceva mai complex.

Se pare că, la ora actuală, aceasta este viziunea cea mai acceptată de învățați; adică un Univers finit ca mărime, închis (deci fără posibilitatea de a scăpa din el), totuși fără margini. Desigur, nu așa ne-am imaginat acel „infinit” de care vorbeam la începutul articolului.

Și am mai putea complica tabloul vorbind despre multiversuri, parte la rândul lor a unor hipermultiversuri (și tot așa până la infinit?), ori despre un număr din ce în ce mai mare (infinit?) de dimensiuni ale spațiului și poate și ale timpului. Dar o asemenea discuție depășește obiectivul rândurilor de față.

Mergând la facultate, am aflat desigur că pentru matematicieni infinitul chiar există, fiind un concept foarte real, fără de care nimic din matematicile moderne n-ar putea exista. Cei vechi se temeau încă de infinitul cel concret. Azi spunem, cu dezinvoltură, că două drepte paralele se întâlnesc la infinit. Euclid era mult mai prudent. O reformulare a faimosului său postulat despre paralele spune doar că ele nu se vor întâlni niciodată, oricât le-am prelungi.

Și în calculul infinitezimal, folosit – iată – de mai bine de trei secole, la început se spunea doar că un număr „tinde spre infinit” sau că este „oricât de mic posibil”. Dar la ora actuală se folosesc deja, fără jenă, integrale de la minus infinit la plus infinit, ca și când aceste valori ar exista în realitate. Există chiar și un mic monstru matematic, o funcțională care are valoarea zero, pe tot intervalul dintre minus infinit și plus infinit, cu excepția unui singur punct, în care are valoarea infinit. Iar integrala lui, pe tot acest domeniu, e ceva finit.

Mai târziu m-am întâlnit și cu spațiile Banach sau Hilbert, spații care nu se mai sfiesc să postuleze în anumite cazuri, de la bun început, că au un număr infinit de dimensiuni. Toate aceste instrumente, ca și multe altele înrudite, folosesc deci diverse ipostaze ale unui infinit cât se poate de concret, fiind totodată de o mare utilitate în știința și tehnologiile zilelor noastre.

Cel care a introdus în matematică infinitul, ca un obiect real, aproape palpabil, a fost, acum un secol și jumătate, Georg Cantor, prin crearea teoriei mulțimilor „transfinite”. În această lume se demonstrează, riguros, că numerele întregi cu soț (sau fără soț, sau prime etc.) sunt tot atât de multe ca și toate numerele întregi. Deci o parte, oricât ar fi de specială, este mereu perfect egală cu întregul. În aceste constatări paradoxale își au izvorul și bizarele operații cu infinitul, pe care le-am evocat în gândurile adolescentine reproduse la începutul acestui articol.

Cantor a demonstrat și că toate fracțiile imaginabile (a/b, numerele raționale) sunt fix la fel de multe ca și numerele naturale (1, 2, 3,…), oricât ar părea de bizar la prima vedere. Cât de multe? Infinit de multe, dar nu orice infinit, ci unul zis „numărabil” și notat prin א₀ (alef zero). Apoi s-a mai demonstrat că numărul de puncte de pe o dreaptă (sau segment, sau toate numerele reale etc.) se constituie într-un infinit mai mare decât cel „numărabil”, unul care poate fi notat cu א₁ (alef unu). Și că numărul funcțiilor matematice este de un infinit și mai mare, notat deci cu א₂ (alef doi). După care (deși nu s-au mai găsit alte exemple) n-a mai fost decât un pas să se spună că nimic nu ne-ar împiedica să vorbim de o ierarhie de infinituri: א_n pentru un n oricât (infinit?) de mare.

Ideile lui Cantor au enervat mult pe matematicienii vremii sale, care voiau să rămână cu picioarele pe pământ. Au urmat șicanări, care l-au făcut pe mult prea sensibilul profesor să ajungă tot mai des într-un sanatoriu de boli psihice, unde a și murit în cele din urmă. Dar moștenirea sa va cuceri matematicile.

Între altele, detractorii săi au remarcat că acceptarea existenței unui infinit real duce la o seamă de paradoxuri. A fost reamintit în acest sens că, încă de acum aproape două milenii și jumătate, Zenon Eleatul a enunțat, de pildă, un faimos paradox care afirma că Ahile, cel iute de picior, nu poate ajunge din urmă, alergând, o broască ţestoasă. De ce? Deoarece până ce Ahile ajunge în punctul T0, în care se afla iniţial ţestoasa, aceasta nu mai este acolo, ajunsă pe o nouă poziţie T1, ceva mai încolo. Când Ahile ajunge la T1, reptila s-a mutat deja în punctul T2. Procesul aceasta se poate repeta la infinit, cu același rezultat, deci aparent Ahile nu are nicio şansă. Bunul simț ne spune că, desigur, aşa ceva nu se întâmplă în realitate. Multă vreme paradoxul a dat bătaie de cap învățaților. Trucul lui Zenon a fost că a îmbucățit o situație finită într-un număr infinit (real) de pași. Iar acest număr infinit nu poate fi parcurs niciodată până la capăt. Matematicienii actuali au instrumente pentru asemenea situații; ei vor recunoaște, de pildă, că ne aflăm în prezența unei banale dezvoltări într-o serie care converge către momentul întâlnirii.

Aici ajung la o altă învățătură, care este revelată la facultatea de matematică și poate la filosofie, dar nu și în altă parte. Am aflat că disputele stârnite asupra existenței sau inexistenței infinitului real, ca și alte antinomii din logică (care există și în lumea celor finite), au scos la iveală că fundamentele matematicilor sunt mult mai şubrede decât se crede. A urmat un fapt de neimaginat pentru un om obişnuit. S-a întâmplat anume că, pe la începutul secolului XX, logicienii şi matematicienii s‑au scindat în şcoli diferite, fiecare promovând metode şi adevăruri contestate de ceilalţi.

Reprezentanţii uneia dintre şcoli – logiciştii, între care Gottlob Frege, Bertrand Russell, Alfred N. Whitehead etc., sperau că ar fi totuşi posibilă o logică universală, lipsită de paradoxuri, suficientă sieşi, şi că matematica poate fi construită exclusiv prin instrumentele acestei logici. Intuiţioniştii, prin L. E. J. Brouwer, Arend Heyting, Jules Henri Poincaré şi alţii, găseau că soluţia stă în interzicerea utilizării unor concepte şi principii, încercând să elimine astfel raţionamentele făcute dincolo de graniţele pe care intuiţia le poate controla. Formaliştii, prin David Hilbert, John von Neumann etc., nutreau convingerea că, prin teorii formale suficient de riguroase, s-ar putea obţine totuşi construcţii lipsite de antinomii. Niciuna dintre aceste şcoli nu a reuşit să-şi ducă programul până la capăt, disputa dintre ele rămânând să mocnească până azi.

Îmi amintesc că la unul dintre ultimele cursuri pe care le-am audiat, înainte de a termina facultatea, un profesor ne‑a dat următorul sfat de rămas bun: „Voi ştiţi de acum cât de controversate sunt bazele matematicilor; aţi aflat că la un moment dat matematicienii s‑au scindat în diverse şcoli, care n‑au fost în stare să cadă de acord asupra unor principii elementare. Dacă veţi deveni cumva profesori de liceu, vă rog cu stăruinţă, nu spuneţi elevilor nimic din toate acestea. Spiritul lor este încă prea plăpând. Ei au nevoie de certitudini; pentru ei matematica trebuie să rămână una şi sfântă.”

Au trecut mulți ani de atunci. Sunt peste șase decenii în care am folosit, cu mai mult sau mai puțin succes, matematica și calculatoarele pentru a rezolva o mare varietate de probleme practice. Această practică m-a învățat să respect câteva înțelepciuni elementare, aflate la îndemâna tuturor, dar care sunt adesea ignorate. Aș evoca două dintre ele.

Prima idee este că realitatea este mult mai complexă decât am fi în stare să ne imaginăm. Pentru a o cunoaște, omul dispune de trei instrumente extrem de performante, dar niciunul perfect: cuvântul, logica și matematica. Cu ajutorul lor construim modele ale realității (de pildă teorii) niciodată perfect adecvate (dovadă paradoxurile etc.), dar mulțumitoare pentru rezolvarea problemelor cu care ne confruntăm. Foarte mulți confundă aceste modele cu realitatea, imaginându-și că ceea ce e valabil în model este și în realitate. E o greșeală care poate duce la concluzii profund eronate.

A doua idee derivă din prima. Am auzit adesea că „s-a demonstrat că, în realitate, trebuie să existe X” sau că „Y nu poate exista”. E bine să nu uităm că orice demonstrație se realizează doar în interiorul unui model, copie funciarmente imperfectă a realității. Concluziile demonstrației sunt adevărate în interiorul modelului, dar în realitate pot fi adevărate sau nu. Modelul e o călăuză extrem de utilă, dar nu și una infailibilă.

În particular, infinitul matematicii are farmecul său, dar este doar parte a unui model. Dincolo de un anumit punct, utilizarea lui poate deveni ar un joc coerent și fascinant, dar gratuit și fără legătură cu realitatea. Deci chiar dacă infinitul este aproape o banalitate în matematici, acest fapt nu implică nicio certitudine privind realitatea. În lumea reală, infinitul ar putea fi doar cel al lui „tinde spre” sau „dincolo de ceva, oricât de departe” ș.a.m.d.; tot așa cum ar putea fi și ceva real.

O a treia înțelepciune elementară, pe care aș mai dori s-o reamintesc cititorului, în încheiere, ar fi aceea că nu trebuie să uităm că există și probleme, privind realitatea, la care nu doar că nu avem răspuns la ora actuală dar pentru care soluțiile nu se vor limpezi decât abia peste sute de ani, nu mai devreme (poate există chiar și probleme care depășesc cu totul capacitatea minților lui homo sapiens). Deci să fim smeriți și răbdători. Existența infinitului real ar putea fi o asemenea problemă.